Harmadfokú egyenlet megoldóképlet
A matematikában a harmadfokú egyenlet egy olyan algebrai egyenlet, amelynek legmagasabb hatványa a változóban 3. Az ilyen típusú egyenletek megoldása sok esetben bonyolult lehet, de szerencsére létezik egy általános megoldóképlet a harmadfokú egyenletek számára, amely segítségével könnyedén meghatározhatók a gyökértartalmú megoldások. A harmadfokú egyenlet megoldóképletét először az olasz matematikus, del Ferro fedezte fel a 16. században, majd ezt a módszert továbbfejlesztette és publikálta Cardano. Az ő nevéhez kötődik a Cardano-féle megoldóképlet, amely segítségével minden harmadfokú egyenlet megoldható.
A Cardano-féle harmadfokú egyenlet megoldóképlet
A Cardano-féle megoldóképlet alkalmazása során először a harmadfokú egyenletet általános formájában kell felírni: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, ahol a, b, c és d a konstans együtthatók, x pedig a változó. Ezt követően a következő lépésekkel határozzuk meg a gyökértartalmú megoldásokat:
- Definiáljuk a Q = (3ac – b^2) / 9 és a R = (9abc – 27ad – 2b^3) / 54 mennyiségeket.
- Állítsuk elő az S = (R + sqrt(R^2 – Q^3))^(1/3) és a T = (R – sqrt(R^2 – Q^3))^(1/3) értékeket.
- Az egyik gyökértartalmú megoldás meghatározásához vegyük az x = S + T – b/3a formulát.
- A másik két gyökértartalmú megoldás pedig az x = (S + T) / 2 – b/3a + i(sqrt(3)(S – T) / 2) és az x = (S + T) / 2 – b/3a – i(sqrt(3)(S – T) / 2) képletekkel számolható ki.
Ezen lépések végrehajtásával minden harmadfokú egyenlet megoldható a Cardano-féle megoldóképlet segítségével. Fontos azonban megjegyezni, hogy a harmadfokú egyenletek gyakran bonyolult megoldásokkal rendelkeznek, és a valós gyökértartalmú megoldások mellett komplex számok is előfordulhatnak. A matematikai problémák megoldásakor azonban a Cardano-féle megoldóképlet kiváló eszköz lehet a harmadfokú egyenletek kezelésére.