A deriválás a matematika egy olyan területe, amelynek segítségével az adott függvényeknek kiszámíthatjuk a deriváltját, vagyis a függvények pillanatnyi változását. Az egyik legfontosabb fogalom az analízisben, és számos területen alkalmazzák, például fizikában, gazdaságtudományban vagy mérnöki területeken. A deriválás segítségével meghatározhatjuk egy függvény grafikonjának lejtését, az ekstremumhelyeket, vagy éppen a függvény növekedési és csökkenési intervallumait. Ebben a cikkben olyan deriválás feladatokat és azok megoldásait fogjuk részletezni, amelyek segítségével jobban megérthetjük ezt a fontos matematikai fogalmat.
Feladat 1
Adott a következő függvény: ( f(x) = 2x^3 – 3x^2 + 4x – 1 ). Számítsuk ki ennek a függvénynek az első és második deriváltját!
Megoldás:
Az első derivált kiszámításához használjuk a deriválás alapvető szabályait. Az (n ) hatványú függvények deriválásának általános képlete: ( (x^n)’ = n cdot x^{n-1} ). Az adott függvény első deriváltja tehát:
[ f'(x) = (2x^3)’ – (3x^2)’ + (4x)’ – (1)’ = 6x^2 – 6x + 4 ]
A második derivált kiszámításához pedig újra alkalmazzuk a deriválás szabályait:
[ f”(x) = (6x^2)’ – (6x)’ + (4)’ = 12x – 6 ]
Így tehát megkaptuk a függvény első és második deriváltját.
Feladat 2
Vizsgáljuk meg az ( f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 ) függvény minimum és maximum helyeit!
Megoldás:
A szélsőértékek meghatározásához először kiszámítjuk az ( f(x) ) függvény első deriváltját, majd megoldjuk annak az egyenletét. Az első derivált:
[ f'(x) = (x^4)’ – (4x^3)’ + (6x^2)’ = 4x^3 – 12x^2 + 12x ]
A szélsőértékek meghatározásához megoldjuk a derivált egyenletét:
[ 4x^3 – 12x^2 + 12x = 0 ]
Ez egy harmadfokú egyenlet, amelyet megoldva kapjuk a szélsőértékeket. Az így kapott értékeket beírva a függvénybe megkaphatjuk a minimum és maximum értékeket.
Ezzel a két feladattal bemutattuk, hogyan lehet kiszámítani és alkalmazni a deriválás fogalmát különböző függvények esetében. A deriválás segítségével részletes információkat nyerhetünk a függvények viselkedéséről, és ezáltal jobban megérthetjük azokat. A következő részben további feladatokat és megoldásokat fogunk bemutatni a deriválás témaköréből.
Természetesen, folytatom a cikk második felét:
Feladat 3
Adott a következő függvény: ( g(x) = sqrt{x} + 2x^2 ). Számítsuk ki ennek a függvénynek az első és második deriváltját!
Megoldás:
Az ( g(x) ) függvény első deriváltját kiszámítva alkalmazzuk a deriválás szabályait. A gyökfüggvény deriválása: ( (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} ), míg az (x^2 ) deriváltja ( (x^2)’ = 2x ). Így az ( g(x) ) első deriváltja:
[ g'(x) = frac{1}{2sqrt{x}} + 4x ]
Az ( g(x) ) függvény második deriváltja:
[ g”(x) = left( frac{1}{2sqrt{x}} right)’ + (4x)’ = -frac{1}{4x^{3/2}} + 4 ]
Feladat 4
Vizsgáljuk meg az ( h(x) = e^x ) függvény növekedési és csökkenési intervallumait!
Megoldás:
Az ( e^x ) függvény növekedési és csökkenési intervallumait a derivált vizsgálatával határozhatjuk meg. Az ( e^x ) deriváltja maga az ( e^x ) függvény, tehát az ( h(x) = e^x ) függvény mindig növekszik.
Feladat 5
Adott a következő függvény: ( k(x) = ln{x} ). Számítsuk ki ennek a függvénynek az első deriváltját!
Megoldás:
Az ( ln{x} ) függvény deriváltja a ( frac{1}{x} ), tehát az ( k(x) = ln{x} ) függvény első deriváltja:
[ k'(x) = frac{1}{x} ]
Ezekkel a feladatokkal tovább gyakorolhattuk a deriválás alkalmazását különböző függvények esetében. A deriválás segítségével részletes információkat nyerhetünk a függvények viselkedéséről, és ezáltal jobban megérthetjük azokat.
Remélem, hasznosnak találtad ezt a cikket a deriválás témakörében. Ha bármilyen további kérdésed van, ne habozz feltenni!